Topology

度量化

基本概念

什么是度量？相信大家早已倒背如流：满足正定、对称、三角不等式的balabala，所以我们直接进入正题，本节的问题是：哪些拓扑空间，能被度量化呢？

定义 （度量拓扑）
集合$X$上定义了度量$d$，那么全体$\epsilon$-球$B(x,\epsilon)$的族，作为一个基，这个基对应的拓扑就叫，由$d$诱导的度量拓扑

验证一下全体$B(x,\epsilon)$聚成的集族，的确是一个基

定义 （可度量化）
拓扑空间$X$，若其拓扑恰是被某一个$X$上的度量诱导出的，则称其为可度量化的

一个拓扑空间能否被度量化仅仅取决于其拓扑。若一个拓扑空同胚于另外一个可度量化的拓扑空间，那当然也是可度量化的！（把那个$d$对应地借过来用不就行了）

该专题的终点是证明Urysohn度量化定理—他给出了一个拓扑空间可度量化的充分条件

重要的例子

定义 （标准有界度量）
$(X,d)$是度量空间，现在定义：$\overline{d}(x,y)=\min \set{d(x,y),1}$，所定义的这个$\overline{d}:X\times X\to \mathbb{R}$也是一个度量，而且$\overline{d}$和$d$诱导出同一个拓扑

证明：正定性以及对称性是显然的，三角不等式$\overline{d}(x,z)\leq \overline{d}(x,y)+\overline{d}(y,z)$也不难证，稍稍分类一下：若$d(x,y)\geq 1$或者$d(y,z)\geq 1$，则三角不等式平凡地成立，若两个都小于1，则由$d$的三角不等式证出

那为什么诱导出同一个拓扑呢？显然，$\epsilon<1$的那些$\epsilon$-球，在$d$和$\overline{d}$意义下都是同个东西。而且任何一个度量空间，其中$\epsilon<1$的这些球构成了该度量拓扑的基，这一点只需验证满足定理（由拓扑找对应的基）的条件即可，如何验证？用一下度量拓扑基的定义即可

记号说明 $\mathbb{R}^\omega$这个记号代表的是$\mathbb{R}$的可列个笛卡尔积，即$\mathbb{R}^\omega = \prod\limits_{i\in \mathbb{N}}\mathbb{R}$

定义 （$\mathbb{R}^\omega$上的度量）
在$\mathbb{R}^\omega$上取积拓扑，那么取度量：$D(x,y)=D((x_i)_i,(y_i)_i)=\sup \set{\frac{\overline{d}(x_i,y_i)}{i}}$，能诱导出积拓扑。（说明一下，这里的$\overline{d}$就是$\mathbb{R}$上的标准有界度量：$\overline{d}(x_j,y_j) :=\min\set{|x_j-y_j|,1}$）

证明：

1. 先证明一下这个奇怪的东西确是个度量，正定对称显然，三角不等式请看：利用$\overline{d}$是个度量，$\frac{\overline{d}(x_i,y_i)}{i}\leq \frac{\overline{d}(x_i,z_i)}{i} +\frac{\overline{d}(z_i,y_i)}{i}\leq D(x,z)+D(y,z)$，因此$\sup\set{\frac{\overline{d}(x_i,y_i)}{i}}\leq D(x,z)+D(z,y)$，得证

2. 再证这个度量诱导的拓扑和积拓扑相等：

(i) 证明积拓扑更加精细：

只用证（这点易知）：任取一个度量拓扑意义下的开集$U$以及其中的任一元素$x$，都能找到积拓扑意义下的开集$V$使得$V\subset U$就行

构造方法：任取$U$，由于是度量拓扑成员，必有$B(x,\epsilon)\subset U$，针对该$\epsilon$，取$\frac{1}{N}< \epsilon$，然后取$V=(x_1-\epsilon,x_1+\epsilon)\times (x_N-\epsilon,x_N+\epsilon)\times\mathbb{R}\times\mathbb{R}\cdots$就是所求，满足$x\in V\subset B(x,\epsilon)\subset U$

为什么呢？：任一个$y\in V$，到$x$的距离都是：$D(x,y)=\sup\set{\frac{\overline{d}(x_i,y_i)}{i}}$，而$V$的构造表明，$i\leq N$时被分子抑制（$\frac{\overline{d}(x_i,y_i)}{i}< \frac{\epsilon}{i}$），$i>N$时被分母拖累（$\frac{\overline{d}(x_i,y_i)}{i}\leq \frac{1}{i}\leq \frac{1}{N}$），故这个$\sup\set{\frac{\overline{d}(x_i,y_i)}{i}}$必比$\epsilon$小，那么$y$就在$B(x,\epsilon)$里

(ii) 证明度量拓扑更加精细：

只用证（这点也易知）：随便来个积拓扑的基元素$U=\prod U_i$以及其中一点$x$，都能找到一个度量空间的$\epsilon$-球$B(x,\epsilon)$使得$x\in B(x,\epsilon)\subset U$即可

构造方法：对于每一个$i$，$U_i$都是$\mathbb{R}$的子集，那么$x_i$在里头，根据实轴的拓扑，能够取到$(x_i-\epsilon_i,x_i+\epsilon_i)\subset U_i$，且故意取$\epsilon_i<1$（该步骤仅对那有限个非$\mathbb{R}$的$U_i$操作就够），然后取有限项的最小者为$\epsilon$，即$\epsilon = \min\set{\frac{\epsilon_i}{i}}$，这样的$B(x,\epsilon)$即为所求！

为什么呢？因为任何的一个$y$若满足$D(x,y) <\epsilon$，就说明了$\frac{\overline{d}(x_i,y_i)}{i}<\epsilon$，因此$\overline{d}(x_i,y_i)<i \epsilon\leq \epsilon_i<1$，故$d(x_i,y_i)<\epsilon_i$，说明$y_i\in (x_i-\epsilon_i,x_i+\epsilon_i)\subset U_i$，这就说明$y\in \prod U_i$，故$B(x,\epsilon)\subset U$，证毕

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Urysohn 度量化定理

定理 （Urysohn度量化定理）
每一个具有可数基的正则空间$X$都是可度量化的

就用拓扑学的经典方法来干这件事：只需证明这个空间$X$和一个可度量化的空间同胚！

这里，我们证明$X$能够嵌入到一个可度量空间$Y$中去，“嵌入”即是说，$X$和$Y$的一个子空间同胚。别忘了，可度量化空间的子空间仍然可度量化，故“$X$能够嵌入到一个可度量空间$Y$”蕴含“$X$可度量化”

1. 先来证明，存在由连续函数$f_n : X\to [0,1]$组成的一个可数族，满足对任何一个点$x_0$以及它的任一邻域$U$，$\exists k$，s.t. $f_k$在$x_0$处取正值，而在$U$以外蜕化（变0）。

没错，读了这段话，一下就能想到要用Urysohn引理！首先确认一下Urysohn引理确实能用：具有可数基的正则空间，根据定理（正则+可数基，正规）可知，确实正规。因此，Urysohn引理能用。

现在，设$\set{B _ n} _ n$是$X$的一个可数基，这样，对于这一列集合，可如下构造：对于每一对满足$\overline{B _ k}\subset B _ j$的指标j与k，使用Urysohn引理，有函数$g _ {j,k}:X\to [0,1]$使得：$g _ {j,k}(\overline{B _ k}) =\set{1}$ ，且$g _ {j,k}(X-B _ j)=\set{0}$。指标集$j,k\in \mathbb{Z^+}$，可数个可数仍然可数，所以$\set{g _ {j,k}} _ {j,k}$也是可数族

随便取一个$x_0$，取其任意一个邻域$U$，可以选取到一个基元素$B_m$满足$x\in B_m\subset U$，对于这个$B_m$，仍然可以取到一个基元素$B_n$满足$x\in B_n\subset B_m$（基的本职嘛！）根据正则性，这个包含是荷叶饼式的包含，因此$B_n\subset B_m$，于是$g_{n,m}$是有定义的，而且当然满足$g_{n,m}(x_0)=\set{1}$以及$g_{n,m}(X-U)=\set{0}$

因此，$\set{g_{j,k}}_{j,k}$就是所求！不仅是可数的，还具有在$x_0$为正，在$U$外蜕化的性质，整理指标，重新编写为$\set{f_n}_n$就行了

2. 定义映射$F:X\to \mathbb{R}^\omega$为$F(x) = (f_1(x),f_2(x),\cdots)$，验证它就是我们要找的嵌入映射，分为三步走（证连续，证单射，证开映射）：

首先，这个$\mathbb{R}^\omega$具有积拓扑，而且$f_n$全部都是连续的，根据定理（总体连续当且仅当分量连续）可知，$F$也是连续的

证明$F$是一个单射：若$x\neq y$，根据1. 证的结论，存在一个$f_k$能够“区别”两者，因此$F(x)\neq F(y)$

最后，证明$F$是一个开映射：随便给一个$X$中开集$U$，欲证$F(U)$为$\mathbb{R}^\omega$中的开集。这只用证，任取$z_0 \in F(U)$，能找到一个开集$W$使得$z_0\in W\subset F(U)$！首先，令$x_0$为满足$F(x_0)=z_0$的那个点，根据$\set{f_n}_n$的构造，可以选取一个指标$N$使得$f_N(x_0) >0$且$f_N(X-U)=\set{0}$，记$V=\pi_N^{-1}((0,+\infty))$，令$W=V\cap F(X)$，那$W$当然是$F(X)$中在子空间拓扑意义下的开集。又由于$\pi_N(z_0) = \pi_N(F(x_0)) = f_N(x_0) >0$，所以$z_0\in \pi_N^{-1}((0,+\infty)) =V$，故$z_0\in W$。而任何一个$W$中的元素$w$其实都有（根据$W$定义）：$\exists x$ s.t. $w =F(x)$，且$\pi_N(w)> 0$。由于$\pi_N(w)=f_N(x)>0$，但是$f_N$在$U$外头的取值都是0，这足以说明$x\in U$，故$w = F(x)\in F(U)$。因此，$W\subset F(U)$。所以,$z_0\in W\subset F(U)$且$W$是一个开集，这就说明$F(U)$是开集！

至此，我们已知$F$连续且单，而$F$限制值域在$F(X)$上时，天然是满射，故$F$是双射。而$F^{-1}$的逆像即$F$的像，所以$F$是开映射说明$F^{-1}$也是连续的，故$F$是一个$X\to F(X)$的同胚映射